Oscilaciones periódicas simétricas y su estabilidad en un problema restringido de 3-cuerpos y en dispositivos MEMS

Este proyecto plantea el estudio sobre la existencia y propiedades de estabilidad de soluciones periódicas impares en el tiempo en dos problemas mecánicos relevantes: el problema de Sitnikov curvo y el estudio de la dinámica de un modelo con EDOS para un dispositivo micro-electro mecánico tipo peine modelado con una elasticidad cúbica. Ambos modelos usan EDOs de segundo orden 𝑇-periódicamente forzadas, y con el mismo tipo de simetrías, lo que conlleva de manera natural a la búsqueda de soluciones periódicas impares de período 𝑛𝑇, con 𝑛 un número natural. En el problema de Sitnikov curvo se considera el movimiento circular de un cuerpo infinitesimal en un plano que es perpendicular al plano en el que se mueven las dos masas primarias en órbitas Keplerianas. El cuerpo infinitesimal pasa por el centro de masas de las primarias. Este modelo podría ser más realista que el famoso problema de Sitnikov donde el movimiento de la infinitesimal es oscilante sobre una línea recta y que ha sido paradigmático en la dinámica no lineal [9], y está motivado por una teoría más general sobre dinámica celeste sobre espacios de curvatura constante [3]. Recientemente, han aparecido varias publicaciones, que estudian los intercambios de estabilidad de los equilibrios de este sistema cuando algunos parámetros varían [4], [8]; sin embargo, el estudio sobre soluciones periódicas parece estar ausente en la literatura. La dificultad fundamental en este estudio radica en que el problema con excentricidad nula de las primarias (movimiento de la infinitesimal sobre un círculo) ya no es autónomo ni integrable en comparación con el Sitnikov clásico; así que las técnicas de perturbación que se han empleado en el problema clásico de Sitnikov, tanto para la existencia de soluciones periódicas pares/impares, como para su estabilidad, ya no son más aplicables [5], [6], [1] y [2]. Este estudio podrá impactar sobre la compresión de los movimientos orbitales de un planeta con dos soles gemelos [4]. Por otra parte, existen técnicas de uso reciente debidas a R. Ortega, en este tipo de EDOs periódicamente forzadas con simetrías, las cuales combinan el método del disparo (shooting) con la detección del cambio del número de ceros en medio periódo de las soluciones que inician en cero. Más precisamente, la velocidad inicial crítica de cambio da lugar a una solución periódica impar, y que necesariamente satisface el problema de contorno 𝑥(0) = 𝑥(𝑇/2) = 0, [15]. Algunas extensiones de este principio para soluciones periódicas pares aparecen en [8], y en osciladores con singularidades en el contexto de los MEMS tipo peine en [10] y [11] para la existencia de soluciones periódicas impares. Se pretende entonces adaptar y aplicar estos principios de Ortega en el problema de Sitnikov curvo y en MEMS de tipo peine con elasticidad cúbica para obtener soluciones periódicas impares con un número de oscilaciones prescritas. El proyecto aportará un estudio numérico para desentrañar las propiedades de estabilidad en algunos casos difíciles como los reseñados en [1] y [2], por ejemplo cuando el período de las soluciones periódicas es 𝑛𝑇 con 𝑛 par, y también dará condiciones sobre los parámetros del modelo para obtener un número prefijado de oscilaciones en las respuestas periódicas impares de ambos problemas