Families of symmetric periodic orbits in two spatial n-body problems

Este proyecto trata el problema de existencia de soluciones periodicas para dos casos especiales del problema de N-cuerpos. En el primer caso consideramos el problema de (N+1)-cuerpos poligonal espacial, el cual consiste en describir el movimiento de (N+1)-cuerpos P1,P2,... PN+1, en donde, P1,P2,...,PN tienen igual masa m>0 y sus posiciones y velocidades iniciales son simetricas a una recta L que pasa por el centro de masas del sistema. El cuerpo PN+1 de masa M>0 tiene posicion y velocidad inicial en L. La existencia de soluciones periodicas para el caso de tres cuerpos (problema de tres cuerpos isosceles espacial) ha sido tratada en varios trabajos, [7,8,6,23] usando metodos variacionales, metodos numericos o tecnicas de continuacion analitica. Pero la mayoria de estos problema asume que el cuerpo P3 tiene masa $M>0$ muy pequeña [3,4,6] o simplemente M=0. En este ultimo caso tenemos el problema de Sitnikov [11,19,23]. Recientemente en [21] por medio de un algoritmo de continuacion numerica se demuestra la existencia de soluciones periodicas y simetrias para valores arbitrarios de las masas m y M, mostrando un interesante diagrama de bifurcacion en el espacio de periodos y condiciones iniciales de las masas. Usando el metodo de continuacion analitica de Poincare, este proyecto busca explicar la existencia algunas de las ramas del diagrama de bifurcacion presente en [21] y extender este mismo analisis al problema problema de (N+1)-cuerpos poligonal espacial. El segundo caso, proponemos una nuevo problema de (2N+1)-cuerpos que hemos llamado problema de (2N+1)-cuerpos antiprismal restringido, el cual consiste en describir el movimiento de un cuerpo Q2N+1 de masa infinitesimal que se mueve en el eje de simetria de un antiprisma regular de 2N-lados, mientras que para cada instante de tiempo, los cuerpos Q1,Q2,..., Q2N de igual masa, se mueven en los vertices del antiprisma como soluciones de tipo hip-hop del problema de 2N-cuerpos. Combinando los resultados [3] para soluciones tipo hip-hop de pequeña oscilacion vertical y los resultados en [23] sobre existencia de soluciones periodicas y simetricas para el problema generalizado de Sitnikov, este proyecto trata el problema de existencia de soluciones periodicas y simetricas para el problema antiprismal restringido, como continuacion analitica de las soluciones periodicas encontradas en [23] que emergen desde la solucion de equilibrio. Hasta donde sabemos, para el problema de (2N+1)-cuerpos propuesto en este proyecto, la existencia de soluciones periodicas por medio de tecnicas de continuacion numerica o perturbacion analitica no ha sido tratado previamente.