Existencia, multiplicidad y estabilidad de soluciones peri´odicas para ecuaciones tipo li´enard con retraso.

El estudio anal´ıtico de la din´amica presente en varios dispositivos mec´anicos es usualmente modelada por medio de ecuaciones diferenciales tipo Li´enard. Ejemplos de tales dispositivos son los MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems), en particular los actuadores torsionales y el microscopio de fuerza at´omica. Quiz´as una de las preguntas m´as interesantes sobre cualquier ecuaci´on tipo Li´enard sea aquella que corresponde a la existencia de soluciones recurrentes (peri´odicas o cuasi-peri´odicas) ya que esto implica comportamientos oscilatorios en los dispositivos. Recientemente, el m´etodo s´uper y sub soluciones ha tenido ´exito en determinar la existencia, multiplicidad y estabilidad de soluciones peri´odicas en modelos MEMS can´onicos como el modelo de Nathanson o el Comb-drive finger. Este trabajo explora este m´etodo m´as a fondo, y persigue una generalizaci´on de los resultados obtenidos en [12, 20, 23] al estudiar la existencia de soluciones peri´odicas para la ecuaci´on diferencial de la forma x¨ + c(x) ˙x + k(x) = F(t)x s P(x) + M(t), s ∈ {0, 1}. De igual forma, se considera el estudio anal´ıtico de la existencia y estabilidad de soluciones peri´odicas para ecuaciones diferenciales con retardo temporal de la forma x¨ + ξx˙ + f(t, x, x,˙ x˙ τ ) = 0, en donde ˙xτ = ˙x(t − τ ). Este tipo de ecuaciones aparecen frecuentemente en aplicaciones pr´acticas de ingenier´ıa de control para MEMS. En los actuadores electrost´aticos estos fen´omenos de retardo temporal son inherentes al dispositivo o puede ser inducido por dise˜no. Con el creciente prop´osito de mejorar el desempe˜no de estos dispositivos en sensibilidad y actuaci´on la estabilidad del mismo juega un papel fundamental, pues de no ser tenido en cuenta, el comportamiento global del sistema puede llegar a degradarse hasta el da˜no mec´anico del mismo.