Clasificación de álgebras de Hopf semisimples

Presentación del Proyecto 1. Resumen del proyecto: Marco conceptual La definición formal de álgebra de Hopf surgió en los años 50 con la teoría de grupos algebraicos en característica positiva, la cohomología de grupos de Lie y los objetos grupo en la categoría de álgebras de von Neumann. Sin embargo, no fue hasta el año 1969, en el libro de Sweedler [42, en el que el concepto de álgebra de Hopf fue establecido de forma independiente, (para más detalles, véase [3). Entre las razones que condujeron a la introducción de esta particular estructura algebraica, es notable aquella que implicó la necesidad de considerar un marco teórico más amplio que permitiese estudiar las simetrías correspondientes a objetos deformados. En cierto punto, las acciones de grupo dejaron de ser suficientes para este objetivo, dado que diversas clases de grupos, incluyendo grupos finitos, no admiten deformaciones (véase [44). Las álgebras de Hopf se presentan, por tanto, como un mecanismo natural que permite estudiar el concepto de simetrías (cuánticas) sobre estructuras deformadas, generalizando de este modo la noción de simetrías en el contexto de grupos. Más aún, gran parte de los anillos considerados al interior de la física, no son más que deformaciones de anillos conmutativos, con lo que el estudio de sus deformaciones resulta ser de gran interés tanto en términos teóricos como aplicados. Además de su interés intrínseco como objeto algebraico, las álgebras de Hopf tienen aplicaciones en otros ámbitos de las matemáticas y de la física matemática, tales como: teoría de campos conformes, teorías topológicas cuánticas, álgebras de operadores, computación cuántica, teoría del control, entre otras. Por ejemplo, las álgebras de Hopf cuasi-triangulares resultan ser una herramienta que permite construir sistemáticamente soluciones de la Ecuación cuántica de Yang-Baxter, mientras que algunas álgebras de Hopf semisimples aparecen como invariantes en el trabajo con subfactores, véase [36. En [29 es posible encontrar referencias específicas sobre el rol desempeñado por las álgebras de Hopf en algunas de estas áreas. Un álgebra de Hopf H sobre un cuerpo k es un álgebra asociativa con unidad, munida de una estructura de coálgebra counital coasociativa, cuya comultiplicación y counidad son morfismos de álgebras y para la cual existe un endomorfismo de H -denominado antípoda- que es la inversa de la identidad respecto al producto por convolución. Algunas de las principales referencias relacionadas con álgebras de Hopf son [10, 21, 22, 28, 40-42. Por otra parte, si H es semisimple como álgebra, se dice que H es un álgebra de Hopf semisimple. Es bien sabido que si H es un álgebra de Hopf de dimensión finita sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado y de característica cero, entonces H es semisimple si, y sólo si, su antípoda es una involución, lo que es también equivalente al hecho de que H es co-semisimple como coálgebra (véase [23). Ejemplos triviales de álgebras de Hopf semisimples son las álgebras de grupo kG de un grupo finito G y su dual kG, el álgebra de funciones sobre G. Estado del arte Dado k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, el problema de clasificar las álgebras de Hopf semisimples de dimensión finita sobre k continúa abierto, inclusive para algunas dimensiones pequeñas. Se conocen algunos resultados generales, que reseñamos a continuación. Sean p y q primos distintos. Es bastante conocido en la literatura el hecho de que toda álgebra de Hopf semisimple de dimensión p o p2 es isomorfa a un álgebra de grupo [24, 46. También se sabe que todas las álgebras de Hopf semisimples de dimensión pq son isomorfas a un álgebra de grupo o a su dual [11, 18, 25. En tal sentido, ha sido enunciada la conjetura de que toda álgebra de Hopf de dimensión pq es semisimple y, de ser cierta tal afirmación, se tendría una clasificación completa de dichas álgebras. Las álgebras de Hopf semisimples de dimensión p3 están clasificadas en [24, 25, con la particularidad que en dimensión 8 se presenta el primer ejemplo no trivial. Para este último caso, se demostró que existen 14 clases de isomorfismo de álgebras de Hopf de tal dimensión. Si H es un álgebra de Hopf semisimple y {dim}_k(H) = 2p, con p un número primo impar, entonces H es isomorfa a alguna de las siguientes álgebras: el álgebra de Hopf kC_{2p} del grupo cíclico C_{2p}\ de orden 2p, el álgebra kD_{2p} del grupo diédrico D_{2p}, o el álgebra de Hopf dual (kD_{2p})\ast (véase [26). Las álgebras de Hopf semisimples de dimensión pq2 están clasificadas en [16 para dimensión 12, en [27 para dimensión 18 y completada en [32¿34. En [19, Kashina demostró que existen exactamente 16 álgebras de Hopf semisimples de dimensión 16 que no son triviales (es decir, no son isomorfas a un álgebra de grupo o al dual de un álgebra de grupo). La primera dimensión en la que no se conoce la clasificación de las álgebras de Hopf semisimples es 24. Por otra parte, Natale probó en [31 que las álgebras de Hopf semisimples de dimensión 30 son triviales. La clasificación de las álgebras de Hopf semisimples de dimensión 32 fue obtenida recientemente en [20. La próxima dimensión para la que no se conoce tal clasificación es 36. En [31, Table 1 se muestra el estado de la clasificación para dimensiones menores o iguales a 60 existente para el año 2006. Finalmente, en [8 se estudia la clasificación de álgebras de Hopf (semisimples o no) en el caso en que la dimensión es menor o igual que 100, o en aquellos casos en que puede ser escrita como un producto de un número pequeño de números primos. Más aún, [8, Tabla 1 presenta el estado de la clasificación de las álgebras de Hopf (semisimples, punteadas y con la propiedad de Chevalley), existente en la literatura hasta el año 2014 para dimensiones menores o iguales a 100. Enfoque y métodos a considerar Tal y como se ha mencionado en párrafos anteriores, clasificar álgebras de Hopf de dimensión finita es, sin lugar a dudas, una tarea de significativa complejidad. Ya para álgebras de Hopf con dimensión pequeña, definidas sobre el cuerpo de los números complejos C, las dificultades son notables, en gran medida debido a los pocos enfoques conocidos para hacer frente a tal problema (véase [7, 8). Sin embargo, dado que la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf semisimple es una categoría de fusión, estudiar este tipo de categorías se presenta como un enfoque alternativo para hacer frente a la tarea de clasificar esta clase particular de álgebras. En nuestro contexto, una categoría tensorial sobre un cuerpo k es una categoría monoidal abeliana k-lineal y rígida C, cuyos espacios de homomorfismos tienen dimensión finita, todo objeto tiene longitud finita, el producto tensorial ¿: C × C ¿ C es k-bilineal, exacto en cada variable, y el objeto unidad 1C es simple. Diremos además que una categoría tensorial C es finita si es equivalente ¿como categoría k-lineal¿ a la categoría de módulos izquierdos de dimensión finita sobre una k-álgebra de dimensión finita. Así, una categoría de fusión sobre k es una categoría tensorial finita semisimple. Para más detalles, véase por ejemplo [12, Chapter 4 y [15. Este tipo de categorías están caracterizadas por estar munidas de un funtor de fibra ¿: C ¿Vec, es decir, un funtor tensorial k-lineal exacto, donde Vec denota la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre el cuerpo k. La categoría C = Rep(H) de representaciones de un álgebra de Hopf H de dimensión finita es una categoría tensorial. Si, adicionalmente, H es semisimple, entonces Rep(H) es una categoría de fusión. Otro concepto que será relevante en nuestra investigación es el de categorías Morita equivalentes. Se dice que las categorías de fusión C y D son Morita equivalentes si existe una C-módulo categoría M indescomponible tal que Dop es equivalente como categoría tensorial a la categoría FunC(M, M) de C-módulo endofuntores de M. (Esta noción define una relación de equivalencia sobre la clase de todas las categorías fusión, véase [30). Así, dos álgebras de Hopf semisimples K y H se dicen Morita equivalentes si Rep(K) y Rep(H) lo son en el sentido categórico introducido. Sea G un grupo finito. Una caracterización de todas las álgebras de Hopf semisimples Morita equivalentes a kG se sigue de [39. Sean F, ¿ < G subgrupos tales que G = F¿, pero con F¿ ¿ no necesariamente trivial. Dado un elemento adecuado (\alpha,\beta) ¿ H2(F,kx) × H2(¿,kx), [4, Definition 2.1, existe un álgebra de Hopf H_{\alpha,\beta}^G(F,¿) tal que H_{\alpha,\beta}^G(F,¿) es Morita equivalente a kG. Una tal colección (F,\ \alpha,\ ¿,ß) es llamada dato grupo-teorético para G, mientras que H_{\alpha,\beta}^G(F,¿) se denomina un álgebra de Hopf grupo-teorética sobre G. Recíprocamente, toda álgebra de Hopf H Morita equivalente a kG es isomorfa a H_{\alpha,\beta}^G(F,¿) para algún dato grupo-teorético (F,\ \alpha,\ ¿,ß) de G. Estas son todas las álgebras de Hopf que provienen de funtores de fibra de categorías de fusión Morita equivalentes a VecG, la categoría de k-espacios vectoriales G-graduados, véase [39. Por lo tanto, toda álgebra de Hopf H Morita equivalente a kG es de esta forma. Es importante hacer énfasis en el hecho de que decidir cuándo dos de estas álgebras son isomorfas, está lejos de ser evidente. Por [35, todas las álgebras de Hopf de dimensión 24 son grupo-teoréticas. Así, para clasificar las álgebras de Hopf de dimensión 24, vamos a determinar todos los datos grupo-teoréticos para todos los grupos de orden 24 usando los programas GAP y Magma, [9, 17. Además, por [35, 6.2, sabemos que las álgebras de Hopf de dimensión 24 son deformaciones por cociclos de álgebras de extensiones abelianas. En [38 se probó que existen álgebras de Hopf de dimensión 36 que no son grupo-teoréticas. En este caso, la técnica descrit