Aplicaciones de la K-teoría en teoría del índice y las conjeturas de Isomorfismo.

La topología algebraica es el área de las matemáticas que estudia los espacios topológicos usando herramientas algebraicas. Son conocidos diversos invariantes asociados a espacios topológicos, por ejemplo los grupos de homotopía, los grupos de homología y cohomología, grupos de cobordismo, etc. El estudio de cada uno de estos invariantes es de por si un área con muchos problemas interesantes sobre los que se trabaja activamente hoy en día. En este proyecto nos ocuparemos de un invariante particular llamado la K-teoría. Las principales propiedades de este invariante pueden ser encontradas en atiyah1967 Las aplicaciones de la K-teoría al análisis de operadores elípticos son muy importantes. A saber, dado un operador elíptico P definido sobre algún espacio de funciones sobre una variedad diferenciable es conocido que el espacio de soluciones de la ecuación P(\phi)=0es finito dimensional y lo mismo sucede con el adjunto, es decir la ecuación P*(\varphi)=0 tiene espacio de soluciones finito dimensional. Se puede entonces definir el índice de P. index(P)=dim ker(P) - dim ker(P*). Calcular el índice implica muchas veces entender el espacio de soluciones de una ecuación diferencial parcial. Esto es un problema altamente no trivial. Afortunadamente existe otra manera de abordar el problema. Una propiedad interesante es que el índice no cambia cuando hacemos perturbaciones continuas de P, esto nos lleva a preguntarnos si existe una descripción topológica de este invariante. Este es a grandes rasgos el contenido del teorema del índice de Atiyah-Singer, allí los autores dan una definición topológica del índice usando K-teoría. Esta definición topológica es útil para muchas aplicaciones y en particular para hacer cálculos. Si la variedad que estamos considerando tiene simetrías de algún tipo es interesante estudiar el problema del índice (con esto me refiero a encontrar descripciones topológicas del índice de un operador elíptico) respetando estas simetrías. El estudio de este problema condujo a la definición de la K-teoría equivariante, este es el invariante del que nos ocuparemos en este proyecto, de sus implicaciones en invariantes asociados a grupos, métodos de cálculo y nociones de orientación en variedades.