Órbitas en el régimen no-ecuatorial de partículas de prueba con espín alrededor de cuerpos masivos rotantes con condiciones suplementarias de espín

Pregunta de investigación ¿Cuál es el subespacio de fase en el que una partícula de prueba con espín realiza una órbita circular estable alrededor de un cuerpo masivo rotante fuera del plano ecuatorial? ¿Cuáles son las condiciones iniciales que garantizan que estas órbitas sean estables? Una manera de describir los fenómenos físicos (encontrar soluciones) es con el análisis numérico, el cual posee la ventaja de que se ajusta teóricamente a las características mismas del problema. En este sentido, los valores iniciales marcan, muchas veces, la manera cómo se desarrolla el problema y sobretodo condicionan incluso la respuesta a las situaciones planteadas. En ciencias física hablamos del problema de valores iniciales o valores extremos. Con relación al problema de la descripción de órbitas de partículas de prueba con espín alrededor de cuerpos masivos rotantes fuera del plano ecuatorial, encontramos varios niveles de apropiación. Lo primero que debemos anotar es que los trabajos que se encuentran en la literatura científica apuntan más a la parte analítica que a lo numérico. La mayoría de veces encontramos un buen análisis teórico de la descripción de órbitas estables para diferentes condiciones del problema [1 [2 [3. En segundo lugar, encontramos que los temas de algunas de las investigaciones se dedican al caso de las partículas de prueba orbitan en el plano ecuatorial de la fuente central, pocos trabajos desarrollan órbitas fuera del plano ecuatorial [4 [5 [6 y muy pocos estudian las partículas de prueba con espín fuera del plano ecuatorial. Quizás porque el problema se hace más complejo y por supuesto con más variables por trabajar. Uno de los aportes de esta investigación es calcular numéricamente el espacio de fase de las condiciones iniciales para partículas de prueba con espín alrededor de cuerpos masivos rotantes que orbitan fuera del plano ecuatorial. Tanto en textos, como en artículos no hay un aporte explícito del tema que investigaremos [7. Debemos anotar también que un impacto científico a corto plazo de esta investigación guarda relación con la descripción y estudio de las ondas gravitacionales [8. Al poder describir, el espacio tiempo de un cuerpo masivo rotante, ya sea una estrella de neutrón o un agujero negro, se darán las características básicas de las perturbaciones que se dan alrededor de dichos cuerpos y por lo tanto se darán las particularidades de las ondas que se midan, acá en la Tierra, con un interferómetro tipo LIGO o Virgo. En un trabajo anterior, deducimos el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo grado acopladas, para partículas de prueba con espín en una métrica de Kerr [9. En dicho trabajo, una de las conclusiones que llegamos es que no todas las condiciones iniciales determinan una órbita estable alrededor de la fuente central. De hecho, son muchas variables a tener en cuenta: el radio, la energía, el momento angular de la masa central, los cuatro elementos de la cuadri velocidad inicial (v^¿) y los elementos del vector momento angular de la partícula de prueba, llamado tensor espín de la partícula (S^¿¿) [10. Ahora bien, en relatividad numérica otro aspecto a tener en cuenta es el grado de precisión de los cálculos que se están trabajando de forma que el error del código no sea más grande que los datos que se quieren obtener. Esto hace que el tamaño del paso, del código, este del orden de los nanómetros y por lo tanto se recurra a máquinas de un nivel alto de almacenamiento y alto rendimiento. En relatividad general, cuando hay problemas de espacio tiempo alrededor de cuerpos masivos rotantes se recurre, generalmente, a la solución de las ecuaciones de campo dadas por la métrica de Kerr. Dicha métrica describe la geometría de un cuerpo en rotación y sin carga. Entre otras características, este elemento de línea posee una componente que relaciona la parte temporal con la parte azimutal (g_t¿). La presencia de este término introduce efectos en la trayectoria de la partícula como es el arrastre (dragging) de los sistemas inerciales y que luego estarán relacionados con los efectos gravitomagnéticos que introduciremos más adelante [11. Ahora bien, uno de los casos que puede abordar la métrica de Kerr son los agujeros negros, sin embargo, la investigación que haremos va más allá de este caso. En general serán sistemas binarios conformados por un cuerpo masivo rotante, ya sea un agujero negro, una estrella masiva o una estrella de neutrones, y por el otro lado un cuerpo extendido, cuyo radio es mucho menor que la componente radial de la métrica y por eso es llamado partícula de prueba. Esta partícula también es rotante y sin carga y orbita alrededor de este campo central rotacional. En relatividad general, cuando se estudia la dinámica de cuerpos extendidos existen básicamente dos vías para abordar dichos problemas. La primera vía consiste en deducir las ecuaciones de movimiento para un cuerpo de prueba moviéndose en un campo gravitacional rotante. Para esto se integra el tensor de energía y se deducen los momentos mutipolares [12 [13. En la mayoría de casos se toma hasta el segundo momento, es decir el momento bipolar de la partícula [14 [15 [16. La segunda vía, consiste en deducir las ecuaciones de movimiento para sistemas binarios a partir de las formulaciones del lagrangiano y el hamiltoniano del sistema [17. Al igual que la primera vía, esta deducción se restringe a la aproximación bipolar. Es decir, la evolución del espín para una partícula de prueba [18. Tanto por la vía de la deducción multipolar, como por el hamiltoniano se llegan a las ecuaciones de movimiento de una partícula de prueba con espín alrededor de un campo gravitacional. A estas ecuaciones se le han dado el nombre de ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon (MPD), por ser los artífices de esta formulación matemática. Dichas ecuaciones están expresadas como [19: Al lado izquierdo de la ecuación tenemos una derivada covariante que describe la fuerza de la partícula. Al lado derecho encontramos la relación entre la cuadri velocidad, el tensor de espín de la partícula y el tensor de Riemman de dicho campo rotacional. Este acople describirá el tipo de movimiento de la partícula de prueba alrededor del cuerpo masivo rotante. La segunda ecuación de MPD, describe la convolución del tensor espín y el acople que se da entre dicho tensor de espín y la cuadri velocidad que acompaña la línea de mundo. Cuando se estudian las trayectorias de partículas de prueba en el plano ecuatorial, las dos constantes de movimiento que marcan las condiciones iniciales, además de la masa, son la energía y el momento angular. En este problema, al estudiar órbitas por fuera del plano ecuatorial aumentan las variables como son la constante de Carter (Q) [11 y el espín de la partícula (S). Esto hace que el grado de complejidad aumente y sobretodo el espacio de fase, para las condiciones iniciales, sea más acotado que en el caso anterior. En esta investigación daremos las familias para las diferentes condiciones iniciales apropiadas que determinan el movimiento de partículas de prueba en una métrica de Kerr. Como se anotaba anteriormente, estas condiciones iniciales, están determinadas por un conjunto de variables dados por las constantes de movimiento y por las características de la partícula de prueba. Ahora bien, cuando se dibujan tres de estas variables en el espacio de fase configuran superficies en tres dimensiones que dan cuenta de la manera cómo se comporta la partícula en un campo rotacional para un cuerpo masivo y muchas veces se asume que la respuesta analítica abarca todas las respuestas posibles; sin embargo, como apuntábamos anteriormente el espacio de fase determina la trayectoria y por lo tanto la descripción se hace diferente para cada conjunto de condiciones iniciales. En la resolución del problema se cuenta con la cuadri posición (x^¿), la cuadri velocidad (v^¿) y el tensor de espín de la partícula de prueba (S^¿¿). Sin embargo, las ecuaciones MPD no son suficientes para el número de variables, por eso se hace necesario fijar una condición suplementaria de espín, la sigla en inglés es SSC. La mayoría de autores toman tres diferentes condiciones SSC llamadas Pirani, Tulczyjew y Ohashi-Kyrian-Semerak [20[21 [22. Para cada una de estas condiciones las características del movimiento dependerán en donde se ubican el centro de masa para la partícula de prueba [23. Bajo la segunda vía de solución, es decir con el formalismo hamiltoniano se toma la relación entre la densidad del momento angular de la masa central (a) y el parámetro de la frecuencia x¿¿(M¿)¿^(2/3) donde es la frecuencia orbital y M la masa de una métrica de Kerr [24, [25. A partir de esta relación se dará la descripción del movimiento de la partícula de prueba.